Combinaciones en el analisis Combinatorio

Se llaman combinaciones de n objetos de orden r a los distintos grupos que se pueden formar al escoger secuencialmente r objetos de entre n posibles, de modo cada una de las combinaciones es distinta de las demás, si difi ere en uno de sus objetos por lo menos, sin importar el orden. Notación:

C_n^r

Para calcular el número de combinaciones de r objetos que se pueden formar con los n objetos disponibles, se considera que, por cada combinación de r objetos, existen r! ordenaciones equivalentes de r objetos; en efecto, cada combinación de r objetos se puede permutar de r! maneras diferentes, generando r! ordenaciones. De modo que basta con dividir el número de ordenaciones
de n objetos de orden r, entre las permutaciones de r objetos para obtener las combinaciones de n objetos de orden

C  =    n!

                                                                          r ! n r !

Ejemplos.

 

BARAJA INGLESA.

 ¿Cuántas manos diferentes le puede tocar a un jugador de poker?

 

Una mano de poker es de 5 cartas y la baraja inglesa consta de 52; por ende, en cada mano se obtiene, de una en una, la muestra de 5 cartas distintas; para efectos de conteo, a esta manera de tomar la muestra se le denomina muestreo sin reemplazamiento. La primera carta puede ser cualquiera de la 52, la segunda puede ser cualquiera de las 51 restantes,..., y la quinta, que puede ser cualquiera de las 48 que quedan. El orden en el que salen las carta no importa y evidentemente no se permite la repetición; por lo tanto, son combinaciones de 52 objetos tomados de 5 en 5.

La capacidad combinatoria es un componente fundamental del pensamiento formal; es esencial para entender a plenitud el desarrollo de la probabilidad. El centro de atención ha de estar en el razonamiento recursivo y en los procedimientos sistemáticos de enumeración y no en las defi niciones de las operaciones combinatorias ni en los algoritmos. Es evidente la conveniencia del uso de diagramas de árbol, porque facilitan la generalización, al permitir extender un procedimiento a cualquier número de elementos y adaptarlo a nuevos problemas derivados.

 

 

 

 

 

 

 



  

 

 

 

 

 



 

 

Permutaciones en el analisis Combinatorio

Se llaman permutaciones de n objetos a las diferentes maneras en que se pueden ordenar esos n objetos; todas las permutaciones constan de los mismos n elementos, pero se consideran diferentes, por el orden en que se colocan éstos. Notación: Pn

Para calcular el número de permutaciones que se pueden formar con los n

objetos, se hacen las siguientes consideraciones: la elección del primer objeto

se puede hacer de n maneras diferentes; la elección del segundo objeto se puede

hacer de (n - 1) maneras diferentes,..., y la elección del n-ésimo objeto sólo

se puede hacer de una manera. Ahora, invocando el principio fundamental del

conteo se tiene: Pn  n(n -1)(n - 2)...3 x2 x1, que nos conduce a la definición

de factorial: 

Pn = n!

 

Si en el librero de tu casa hay 15 diferentes libros, 6 de los cuales son de matemáticas, 4 son de química y 5 son de física,

a) ¿De cuántas maneras diferentes puedes acomodarlos en el librero?
15 P = 15 ! = 1,307,674,368,000 maneras

b) ¿De cuántas maneras diferentes puedes acomodarlos en tu librero, si los de

cada materia deben quedar juntos?

El considerar que los libros de cada materia deben quedar juntos implica distinguir

las 3 materias como 3 objetos que se pueden permutar: el primer objeto

es el grupo de libros de matemáticas, el segundo objeto es el grupo de libros de

química y el tercer objeto es el grupo de libros de física. El número de maneras

en que se pueden permutar estos 3 objetos es: . 3 P = 3 ! = 6

Los 6 libros de matemáticas se pueden permutar de 6 P = 6 ! = 720 maneras;

los 4 libros de química se pueden permutar de 4 P = 4 ! = 24 maneras; y los

5 libros de física se pueden permutar de 5 P = 5 ! = 120 maneras.

Por el principio fundamental del conteo, el número total de maneras en que se

pueden colocar los 15
libros en el librero, haciendo que los de cada materia
queden juntos es:
P 3P 6P 4P5 = 3 !6 ! 4 !5 ! =6x720x24x120 =12' 441,600 maneras

 

 

 

Fórmula del número de permutaciones

Dado un conjunto finito de elementos, el número de todas las permutaciones es igual a factorial de n:
.

Demostración: Dado que hay formas de escoger el primer elemento y, una vez escogido éste, sólo tenemos formas de escoger el segundo elemento, y así sucesivamente, vemos que cuando llegamos al elemento k-ésimo sólo tenemos posibles elementos para escoger, lo que nos lleva a que tenemos formas de ordenar el conjunto, justamente lo que enunciamos anteriormente. .

Ejemplo: sea el conjunto A={1,2,3} en este caso hay 6 permutaciones, en forma compacta: 123, 132, 213, 231, 312, 321. En álgebra, para estudiar los grupos simétricos se presentan entre paréntesis y en dos filas, en la primera siempre aparece 1 2 3.

Una variante de lo mismo, si se va a formar un comité que involucra presidente, tesorero y secretario, habiendo tres candidatos a, b, c ; cuando se elige por sorteo los cargos sucesivamente, hay seis posibilidades u ordenaciones: abc, acb, bca, bac, cab, cba.

Principio Fundamental de Conteo

El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre carios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede n2 maneras diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a  n1 x n2.

¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?

Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer

premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y

posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras

distintas de repartir los tres premios.

n

10 x 9 x 8 = 720

Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas:

* La técnica de la multiplicación

* La tecnica aditiva
* La tecnica de la suma o Adicion

* La técnica de la permutación

* La técnica de la combinación.

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar  puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de. El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a producto.


 N1 x N2 x ..........x  Nr  maneras o formas

Ejemplo:
Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2   y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2.Respuesta: (3)(4)=12

PRINCIPIO ADITIVO.

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada  a cabo de,

                        M + N + .........+ W  maneras o formas

Ejemplos:

1)      Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

 

Solución:

 

M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool

N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy

W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric

      M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras

N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras

 

W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras

 

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora 

 

Ejercicios resueltos del Principio Multiplicativo.

1.- Calcular cuántos números enteros diferentes de tres dígitos se pueden formar con los dígitos 2,3,4,5,6,7,8 si los dígitos no pueden repetirse.

Solución:
Si es un número de tres dígitos, necesitamos un dígito para las centenas que puede ser cualquiera de los siete dígitos dados, después un dígito para las decenas que puede elegirse entre los seis dígitos restantes y finalmente el dígito de las unidades se
elegirá de los cinco últimos dígitos. Aplicando el Principio multiplicativo , tendremos:

7x6x5 = 210 números

2.- Calcular cuántos números enteros diferentes de tres dígitos se pueden formar con los dígitos 2,3,4,5,6,7,8 si los dígitos pueden
repetirse.

Solución:
Si es un número de tres dígitos, necesitamos un dígito para las centenas que puede ser cualquiera de los siete dígitos dados, después un dígito para las decenas que puede elegirse entre los siete dígitos y finalmente el dígito de las unidades se elegirá de los siete dígitos. Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:

7x7x7 = 343 números

3.- Calcular de cuántas maneras diferentes se pueden sentar tres niños en una banca de tres asientos.

Solución:
El primer niño puede sentarse en cualquiera de los tres lugares disponibles, el segundo niño puede sentarse en cualquiera de los dos asientos restantes y el tercer niño se sentará en el único lugar que queda. Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:

3x2x1 = 6 maneras diferentes

4.- Calcular de cuántas maneras diferentes se pueden sentar tres niños en una banca de cuatro asientos.

Solución:
El primer niño puede sentarse en cualquiera de los cuatro lugares disponibles, el segundo niño puede sentarse en cualquiera de los
tres asientos restantes y el tercer niño se sentará en alguna de los dos lugares que quedan disponibles quedando un lugar vacío.

Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:

4x3x2 = 24 maneras diferentes

 

 

Ejemplo DADOS. Considere el experimento consistente en lanzar dos

dados y observar las caras que quedan hacia arriba. El primer dado puede caer

de 6 maneras diferentes (1, 2, 3, 4, 5, 6) y el segundo dado también puede

caer de 6 maneras diferentes. Entonces, el número de maneras en que pueden

caer ambos dados simultáneamente es: 6 6 = 36.

 

Ejemplo POZOS EXPLORATORIOS. Considere el experimento consistente

en observar el resultado de la perforación de cuatro pozos exploratorios.

El resultado del primer pozo puede presentarse de 2 maneras (0: seco,

1: productor), el resultado del segundo, tercero y cuarto pozos también puede

presentarse de 2 maneras. Entonces, el número de maneras en que puede observarse

el conjunto, indicando el resultado de los cuatro pozos simultáneamente

es: 222 2 = 16.

Teoria de Conjuntos

Definición de "Teoria de Conjuntos".

Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con

certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación. Para denotar a los conjuntos, se usan
letras mayúsculas.
 Cuando un elemento 1 x pertenece a un conjunto A se expresa de forma simbólica como: x Î A 1 . En caso de que un elemento 1 y no pertenezca a este mismo conjunto se utiliza la notación: y Ï A 1

Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos:
 

1) Por extensión o enumeración: los elementos son encerrados entre llaves y separados por

comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves.
 

2) Por comprensión: los elementos se determinan a través de una condición que se establece

entre llaves. En este caso se emplea el símbolo | que significa “tal que". En forma simbólica es:

 

     A ={ x | P(x)} ={ x ,x ,x ,×××,xn  1 2 3}

que significa que el conjunto A es el conjunto de todos los elementos x tales que la condición P(x) es

verdadera, como 1 2 3 x ,x ,x , etc1.

3) Diagramas de Venn: son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un

conjunto o las relaciones entre conjuntos.

4) Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que es común para los

elementos.

Ejemplo.

Dada la descripción verbal “el conjunto de las letras vocales”, expresarlo por extensión, comprensión y

por diagrama de Venn.

Solución.

 Por extensión: V = {a,e,i,o,u }

Por comprensión: V = {x x es una vocal }

Ejemplo.

Expresar de las tres formas al conjunto de los planetas del sistema solar.

Solución.

Por extensión: P = {Mercurio,Venus,Tierra,Marte,Júpiter,Saturno,Urano,Neptuno,Plutón }

Por comprensión: P = { x|  x es un planeta del sistema solar}

Si cada elemento de un conjunto A es también un elemento del conjunto B , se dice que A es un

subconjunto de B . La notación AÌ B significa que A está incluido en B y se lee: “ A es subconjunto de B ” o “ A está contenido en B ”.
Si no todos los elementos de un conjunto A son elementos del conjunto B , se dice que A no es
subconjunto de B . En este caso la notación AË B significa que A no es un subconjunto de B .

En los ejemplos anteriores, si F = {a,e,o } es el conjunto de las vocales fuertes y

S = {Mercurio,Venus } es el conjunto de planetas que no poseen satélites, entonces se cumple que:
F ÌV y que S Ì P . De la misma forma, nótese como: F Ë P , S Ë V , F Ë S y S Ë F .
La cardinalidad de un conjunto se define como el número de elementos que posee. Se denota por medio
de los símbolos h o # . De los conjuntos anteriores: h(V )= 5 , h(F ) = 3 , h(P) = 9 y h(S ) = 2 .

   

CONJUNTOS CON NOMBRES ESPECÍFICOS

· Un conjunto vacío o nulo es aquel que no posee elementos. Se denota por: f o bien por { }. El

conjunto vacío siempre forma parte de otro, así que es subconjunto de cualquier conjunto.

Ejemplos.

 

f = { x x son los dinosaurios que viven en la actualidad }

{ }= { x x son los hombres mayores de 300 años }

f = { x x son números positivos menores que cero}

 

· Un conjunto universal es aquel que contiene a todos los elementos bajo consideración. Se denota por

U . Gráficamente se le representará mediante un rectángulo.

Ejemplos.

U = { x x son los días de la semana }= {lunes ,martes ,miércoles , jueves ,viernes ,sábado ,domingo }

A = { x x son los días de la semanainglesa}= {lunes,martes,miércoles, jueves,viernes}

B = { x x son los días del fin de semana }= {sábado,domingo }

C = { x x son los días de la semana con menos de siete letras }= {lunes,martes, jueves,sábado}

Nótese cómo: A ÌU, B ÌU, C ÌU

 

· Un conjunto finito es aquel cuyos elementos pueden ser contados.

 

Ejemplos.

J = { x x es el número de un día del mes de junio }

{ 4 } 2 K = x x =

L = { x x es la cantidad de autos en la ciudad de México }

 

· Un conjunto infinito es aquel cuyos elementos no pueden ser contados, es decir, su cardinalidad no

está definida.

Ejemplos.

 

N = {1,3,5,7,9,11,×××}

M = {2,4,6,8,10,12,×××}

Q = { x x es la cantidad de puntos en una línea }

 

· Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por el símbolo = .

Ejemplo.

R = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}

S = { x x es un dígito }

R = S

 

· Dos conjuntos son desiguales si por lo menos difieren en un elemento, es decir, si no tienen

exactamente los mismos elementos. Se denota por el símbolo ¹ .

 

 

 

 

 

 

 

· Dos conjuntos son equivalentes si tienen la misma cantidad de elementos, es decir, si poseen la

misma cardinalidad. Se denota por el símbolo » .

Ejemplos.

W = {x x son las estaciones del año }

Z = {x x es un punto cardinal }

h (W) = 4

h (Z) = 4

W » Z

 

OPERACIONES CON CONJUNTOS

· La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los

elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A∪ B . Esto es:

A∪ B = { x xÎ A o xÎ B }

Ejemplo.

A = {mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandía }

B = {durazno,melón,uva,naranja,sandía, plátano }

A∪ B = {mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandía,durazno,melón, plátano }

 

· La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que también

pertenecen a B y se denota como A∩ B . Esto es:

A ∩ B = { x xÎ A y xÎ B }

Ejemplo.

A = {mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandía }

B = {durazno,melón,uva,naranja,sandía, plátano }

A∩ B = { uva,naranja, sandía }

El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal U es el conjunto de todos los

elementos de U que no están en A y se denota como A' . Esto es:

A' = { xÎU xÏ A}



Ejemplo.

 

U = {mango,kiwi,ciruela,uva, pera,naranja,cereza,manzana,sandía,durazno,limón,melón, plátano}

A = {mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandía }

A' = {kiwi, pera,cereza,durazno,limón,melón, plátano }

En este ejemplo se puede notar como h(A)+ h(A' ) = h(U )

De esta definición, se puede advertir que se cumplen las siguientes expresiones:

 

(A' )' = A

f ' =U

U ' =f
 

· La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que

pertenecen a A y no pertenecen a B y se denota como A- B . Esto es:

A - B = { x xÎ A y xÏB }

Ejemplo.

 

A = {mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandía }

B = {durazno,melón,uva,naranja,sandía, plátano }
A - B = {mango,ciruela,manzana }
B - A = {durazno,melón, plátano }

PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS

Sean los conjuntos A, B,C dentro del universo U . Las seis propiedades que rigen las operaciones con

esos conjuntos son las siguientes:

1. Propiedades de identidad:

 

A∪ f = A

A∪U =U

A∩U = A

A∩f = f

2. Propiedades de idempotencia:

 

A∪ A = A

A∩ A = A

3. Propiedades de complemento:

 

A∪ A' =U

A∩ A' = f

4. Propiedades asociativas:

 

(A∪ B)∪C = A∪ (B ∪C)

(A∩ B)∩C = A∩ (B ∩C)

5. Propiedades conmutativas

 

A∪ B = B ∪ A

A∩ B = B ∩ A

6. Propiedades distributivas

 

A∪ (B ∩C) = (A∪ B)∩(A∪C)

A∩(B ∪C)= (A∩ B)∪(A∩C)