Se llaman permutaciones de n objetos a las diferentes maneras en que se pueden ordenar esos n objetos; todas las permutaciones constan de los mismos n elementos, pero se consideran diferentes, por el orden en que se colocan éstos. Notación: Pn
Para calcular el número de permutaciones que se pueden formar con los n
objetos, se hacen las siguientes consideraciones: la elección del primer objeto
se puede hacer de n maneras diferentes; la elección del segundo objeto se puede
hacer de (n - 1) maneras diferentes,..., y la elección del n-ésimo objeto sólo
se puede hacer de una manera. Ahora, invocando el principio fundamental del
conteo se tiene: Pn n(n -1)(n - 2)...3 x2 x1, que nos conduce a la definición
de factorial:
Pn = n!
Si en el librero de tu casa hay 15 diferentes libros, 6 de los cuales son de matemáticas, 4 son de química y 5 son de física,
15 P = 15 ! = 1,307,674,368,000 maneras
b) ¿De cuántas maneras diferentes puedes acomodarlos en tu librero, si los de
cada materia deben quedar juntos?
El considerar que los libros de cada materia deben quedar juntos implica distinguir
las 3 materias como 3 objetos que se pueden permutar: el primer objeto
es el grupo de libros de matemáticas, el segundo objeto es el grupo de libros de
química y el tercer objeto es el grupo de libros de física. El número de maneras
en que se pueden permutar estos 3 objetos es: . 3 P = 3 ! = 6
Los 6 libros de matemáticas se pueden permutar de 6 P = 6 ! = 720 maneras;
los 4 libros de química se pueden permutar de 4 P = 4 ! = 24 maneras; y los
5 libros de física se pueden permutar de 5 P = 5 ! = 120 maneras.
Por el principio fundamental del conteo, el número total de maneras en que se
pueden colocar los 15libros en el librero, haciendo que los de cada materia
queden juntos es:
P 3P 6P 4P5 = 3 !6 ! 4 !5 ! =6x720x24x120 =12' 441,600 maneras
Fórmula del
número de permutaciones
Dado un conjunto finito 
de 
elementos,
el número de todas las
permutaciones es igual a factorial de n:
.
de elementos,
el número de todas las
permutaciones es igual a factorial de n:.
Demostración: Dado que hay formas de
escoger el primer elemento y, una vez escogido éste, sólo tenemos 
formas de
escoger el segundo elemento, y así sucesivamente, vemos que cuando llegamos al
elemento k-ésimo sólo tenemos ![[n-(k-1)]\,\!](file:///C:/Users/joel/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image005.png)
posibles
elementos para escoger, lo que nos lleva a que tenemos 
formas de ordenar el conjunto, justamente lo que enunciamos
anteriormente. .
formas de
escoger el primer elemento y, una vez escogido éste, sólo tenemos formas de
escoger el segundo elemento, y así sucesivamente, vemos que cuando llegamos al
elemento k-ésimo sólo tenemos posibles
elementos para escoger, lo que nos lleva a que tenemos formas de ordenar el conjunto, justamente lo que enunciamos
anteriormente. .
Ejemplo: sea el conjunto
A={1,2,3} en este caso hay 6 permutaciones, en forma compacta: 123, 132, 213,
231, 312, 321. En álgebra, para estudiar los grupos simétricos se presentan
entre paréntesis y en dos filas, en la primera siempre aparece 1 2 3.
Una variante de lo mismo, si
se va a formar un comité que involucra presidente, tesorero y secretario,
habiendo tres candidatos a, b, c ; cuando se elige por sorteo los cargos
sucesivamente, hay seis posibilidades u ordenaciones: abc, acb, bca, bac, cab,
cba.
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