Teoria de Conjuntos

Definición de "Teoria de Conjuntos".

Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con

certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupación. Para denotar a los conjuntos, se usan
letras mayúsculas.
 Cuando un elemento 1 x pertenece a un conjunto A se expresa de forma simbólica como: x Î A 1 . En caso de que un elemento 1 y no pertenezca a este mismo conjunto se utiliza la notación: y Ï A 1

Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos:
 

1) Por extensión o enumeración: los elementos son encerrados entre llaves y separados por

comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves.
 

2) Por comprensión: los elementos se determinan a través de una condición que se establece

entre llaves. En este caso se emplea el símbolo | que significa “tal que". En forma simbólica es:

 

     A ={ x | P(x)} ={ x ,x ,x ,×××,xn  1 2 3}

que significa que el conjunto A es el conjunto de todos los elementos x tales que la condición P(x) es

verdadera, como 1 2 3 x ,x ,x , etc1.

3) Diagramas de Venn: son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un

conjunto o las relaciones entre conjuntos.

4) Por descripción verbal: Es un enunciado que describe la característica que es común para los

elementos.

Ejemplo.

Dada la descripción verbal “el conjunto de las letras vocales”, expresarlo por extensión, comprensión y

por diagrama de Venn.

Solución.

 Por extensión: V = {a,e,i,o,u }

Por comprensión: V = {x x es una vocal }

Ejemplo.

Expresar de las tres formas al conjunto de los planetas del sistema solar.

Solución.

Por extensión: P = {Mercurio,Venus,Tierra,Marte,Júpiter,Saturno,Urano,Neptuno,Plutón }

Por comprensión: P = { x|  x es un planeta del sistema solar}

Si cada elemento de un conjunto A es también un elemento del conjunto B , se dice que A es un

subconjunto de B . La notación AÌ B significa que A está incluido en B y se lee: “ A es subconjunto de B ” o “ A está contenido en B ”.
Si no todos los elementos de un conjunto A son elementos del conjunto B , se dice que A no es
subconjunto de B . En este caso la notación AË B significa que A no es un subconjunto de B .

En los ejemplos anteriores, si F = {a,e,o } es el conjunto de las vocales fuertes y

S = {Mercurio,Venus } es el conjunto de planetas que no poseen satélites, entonces se cumple que:
F ÌV y que S Ì P . De la misma forma, nótese como: F Ë P , S Ë V , F Ë S y S Ë F .
La cardinalidad de un conjunto se define como el número de elementos que posee. Se denota por medio
de los símbolos h o # . De los conjuntos anteriores: h(V )= 5 , h(F ) = 3 , h(P) = 9 y h(S ) = 2 .

   

CONJUNTOS CON NOMBRES ESPECÍFICOS

· Un conjunto vacío o nulo es aquel que no posee elementos. Se denota por: f o bien por { }. El

conjunto vacío siempre forma parte de otro, así que es subconjunto de cualquier conjunto.

Ejemplos.

 

f = { x x son los dinosaurios que viven en la actualidad }

{ }= { x x son los hombres mayores de 300 años }

f = { x x son números positivos menores que cero}

 

· Un conjunto universal es aquel que contiene a todos los elementos bajo consideración. Se denota por

U . Gráficamente se le representará mediante un rectángulo.

Ejemplos.

U = { x x son los días de la semana }= {lunes ,martes ,miércoles , jueves ,viernes ,sábado ,domingo }

A = { x x son los días de la semanainglesa}= {lunes,martes,miércoles, jueves,viernes}

B = { x x son los días del fin de semana }= {sábado,domingo }

C = { x x son los días de la semana con menos de siete letras }= {lunes,martes, jueves,sábado}

Nótese cómo: A ÌU, B ÌU, C ÌU

 

· Un conjunto finito es aquel cuyos elementos pueden ser contados.

 

Ejemplos.

J = { x x es el número de un día del mes de junio }

{ 4 } 2 K = x x =

L = { x x es la cantidad de autos en la ciudad de México }

 

· Un conjunto infinito es aquel cuyos elementos no pueden ser contados, es decir, su cardinalidad no

está definida.

Ejemplos.

 

N = {1,3,5,7,9,11,×××}

M = {2,4,6,8,10,12,×××}

Q = { x x es la cantidad de puntos en una línea }

 

· Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por el símbolo = .

Ejemplo.

R = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}

S = { x x es un dígito }

R = S

 

· Dos conjuntos son desiguales si por lo menos difieren en un elemento, es decir, si no tienen

exactamente los mismos elementos. Se denota por el símbolo ¹ .

 

 

 

 

 

 

 

· Dos conjuntos son equivalentes si tienen la misma cantidad de elementos, es decir, si poseen la

misma cardinalidad. Se denota por el símbolo » .

Ejemplos.

W = {x x son las estaciones del año }

Z = {x x es un punto cardinal }

h (W) = 4

h (Z) = 4

W » Z

 

OPERACIONES CON CONJUNTOS

· La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los

elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A∪ B . Esto es:

A∪ B = { x xÎ A o xÎ B }

Ejemplo.

A = {mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandía }

B = {durazno,melón,uva,naranja,sandía, plátano }

A∪ B = {mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandía,durazno,melón, plátano }

 

· La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que también

pertenecen a B y se denota como A∩ B . Esto es:

A ∩ B = { x xÎ A y xÎ B }

Ejemplo.

A = {mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandía }

B = {durazno,melón,uva,naranja,sandía, plátano }

A∩ B = { uva,naranja, sandía }

El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal U es el conjunto de todos los

elementos de U que no están en A y se denota como A' . Esto es:

A' = { xÎU xÏ A}



Ejemplo.

 

U = {mango,kiwi,ciruela,uva, pera,naranja,cereza,manzana,sandía,durazno,limón,melón, plátano}

A = {mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandía }

A' = {kiwi, pera,cereza,durazno,limón,melón, plátano }

En este ejemplo se puede notar como h(A)+ h(A' ) = h(U )

De esta definición, se puede advertir que se cumplen las siguientes expresiones:

 

(A' )' = A

f ' =U

U ' =f
 

· La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que

pertenecen a A y no pertenecen a B y se denota como A- B . Esto es:

A - B = { x xÎ A y xÏB }

Ejemplo.

 

A = {mango,ciruela,uva,naranja,manzana,sandía }

B = {durazno,melón,uva,naranja,sandía, plátano }
A - B = {mango,ciruela,manzana }
B - A = {durazno,melón, plátano }

PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS

Sean los conjuntos A, B,C dentro del universo U . Las seis propiedades que rigen las operaciones con

esos conjuntos son las siguientes:

1. Propiedades de identidad:

 

A∪ f = A

A∪U =U

A∩U = A

A∩f = f

2. Propiedades de idempotencia:

 

A∪ A = A

A∩ A = A

3. Propiedades de complemento:

 

A∪ A' =U

A∩ A' = f

4. Propiedades asociativas:

 

(A∪ B)∪C = A∪ (B ∪C)

(A∩ B)∩C = A∩ (B ∩C)

5. Propiedades conmutativas

 

A∪ B = B ∪ A

A∩ B = B ∩ A

6. Propiedades distributivas

 

A∪ (B ∩C) = (A∪ B)∩(A∪C)

A∩(B ∪C)= (A∩ B)∪(A∩C)